Kesirli mertebeden analizin temel kavramlarının incelenmesi

Abstract

Yüksek Lisans tez çalışması giriş, klasik ve kesirli matematiksel analizlerin karşılaştırılması, reel eksenin sonlu aralığında kesirli mertebe türev ve integralin özellikleri, Grünwald-Letnikov ve Riemann- Liouville yaklaşımlarının eşdeğerliği, kesirli mertebe ikinci çeşit Volterra denklemi için correct Cauchy probleminin çözümüne ilişkin araştırma bulguları, tartışma ve sonuç ve kaynaklar olmak üzere toplam altı bölümden oluşmaktadır. Tezin giriş kısmında konuya ilişkin literatür özetleri, çalışmanın güncelliği, tez çalışmasının amacı, bu amaca varmak için çözülmesi gereken problemler verilmiştir. İkinci bölümde, kesirli mertebe türevleri ve integralleri tanımlamak ve özelliklerini incelemek ve ayrıca kesirli mertebe türevleri ihtiva eden diferansiyel denklemleri incelemek için kuramsal temeller verilmiştir. Üçüncü bölümde, kesirli mertebe türev ve integral hesabında yaygın olarak kullanılan ve Euler fonksiyonları olarak bilinen Gamma ve Beta fonksiyonları tanımlanmış ve onlar arasındaki ilişki özellikleri verilmiştir. Dördüncü bölümde, kesirli mertebe matematikte kullanılan Riemann-Liouville, Grünvald-Letnikov, Caputo yaklaşımları verilmiş ve bu yaklaşımlar yardımıyla kesirli mertebe türev ve integralin hesaplanmasına ilişkin bazı örnekler verilmiştir. Beşinci bölümde öncelikli olarak, kesirli mertebe diferansiyel denklemlerle ikinci çeşit Volterra integral denklemi arasındaki ilişki belirlenmiş ve daha sonra ise sürekli ve integrallenebilir fonksiyonlar uzayında gerçel eksenin sonlu aralığında kesirli mertebe bayağı diferansiyel denklemler için Cauchy tipi problemin çözümünün varlığı ve tekliği verilmiştir. Tezin altıncı bölümde ise tartışma ve sonuçlar verilmiştir.

This master's thesis includes the main material, consisting of an introduction and four chapters, conclusions and a list of used literature sources. The introductory part of the work provides information from the literature related to the subject of the study, the relevance of the study, the purpose of the study and the tasks that need to be solved to achieve this goal. The second chapter provides a theoretical basis for the definition of derivatives and integrals of fractional order and for the study of their properties, as well as for the study of differential equations containing derivatives of fractional order. The third chapter defines the gamma and beta functions, which are commonly used in the calculus of fractional derivatives and integral calculus, and are known as the Euler functions, and presents their relationship properties. In the fourth chapter, the Riemann-Liouville, Grunwald-Letnikov, Caputo approximations used in fractional-order mathematics are given, and some examples of calculating the derivatives and the fractional-order integral using these approaches are given. In the fifth chapter, firstly, the connection between differential equations of fractional order and the Volterra integral equation of the second kind is determined, and then the existence and uniqueness of the solution of the Cauchy-type problem for ordinary differential equations of fractional order in a finite range of the real axis. The sixth chapter of the thesis provides a discussion and results.